В научной деятельности А.А. Ляпунова, несмотря на ее разносторонний характер, можно выделить два этапа: первый, длившийся до начала пятидесятых годов, связан, главным образом, с теорией множеств; второй - с развитием кибернетики.

Интерес к теории множеств А.А. пронес через всю жизнь и неоднократно возвращался к занятию ею и в период работы в области кибернетики. Более того, в кибернетических проблемах он зачастую подмечал обстоятельства теоретико-множественного характера и привлекал к ним внимание учеников и сотрудников.