Первая половина нашего столетия была ознаменована бурным развитем теории множеств. Полученные в этой области результаты легли в основу самых разных областей математики. Теория множеств делится на метрическую, связанную с измерениями, и дескриптивную, занимающуюся способами конструирования множеств и их классов.

Основное содержание дескриптивной теории множеств - изучение связи между способами конструирования множеств (или классов множеств) и внутренними свойствами этих множеств (классов). Рассматриваются некоторые классы операций над множествами, обычно связанные так или иначе с объединением и пересечением множеств. Затем берется некоторый исходный запас достаточно простых множеств, например, интервалы числовой оси, и строится минимальный класс, содержащий исходные множества и замкнутый относительно выбранных операций. При этом, естественно, возникает классификация множеств, входящих в расширенный класс, по поводу которой важно выяснить, например, такие вопросы:

• существуют ли в каждом классе такие множества, которые не входят в предыдущие классы, т.е. проблема непустоты;

• отделимы ли множества, принадлежащие к какому-либо классу посредством множеств из более простых классов;

• какой мощности бывают эти множества;

• измеримы ли они;

• посредством каких множеств они униформизированы - задача, связанная с переходом от неявного задания функции к явному ее значению.

Классические результаты в области дескриптивной теории множеств были получены в начале XX в. французскими математиками (Бэр, Борель, Лебег и др.). Одновременно с ними в теории множеств работали московские математики под руководством Н.Н. Лузина. В 1916 г. П.С. Александровым была введена A-операция и, пользуясь ею, М.Я. Суслин в 1917 г. построил класс A-множеств более широкий, чем класс B-множеств. Для изучения А-множеств Н.Н. Лузиным была определена (1930 г.) специальная операция "решета". П.С. Новиков установил (1931, 1937 гг.) принцип сравнения индексов решета. Им же введено (1934 г.) понятие кратной отделимости. А.Н. Колмогоровым введено понятие С-множеств, полученных повторным применением A-операции и дополнительной к ней. С проективными множествами работали А.Н. Колмогоров, Ф. Хаусдорф, Н.Н. Лузин, П.С. Новиков. Ко времени прихода А.А. Ляпунова в Институт математики им. В.А. Стеклова большинство воспитанников лузинской ("московской") математической школы уже перешло в другие области. Исследования принципиальных вопросов дескриптивной теории множеств продолжал П.С. Новиков. Под его непосредственным руководством, начиная с 1935 г., и стал работать А.А.

Первый цикл работ А.А. Ляпунова связан с проблемой отделимости и униформизации множеств. Он показал, что для A-множеств имеет место первая теорема о кратной отделимости по отношению к операции предела счетной последовательности множеств (1936 г.), а для СA -множеств не имеет места первая теорема отделимости по отношению к операции верхнего предела.

Далее А.А. Ляпунов детально изучает общие законы отделимости и неотделимости по отношению к A-операции. Опираясь на принцип сравнения индексов П.С. Новикова, А.А. доказал первую и вторую теоремы о кратной отделимости для класса A(М) по отношению к A-операции. Результаты, полученные в области В-, A-, С- и СА -множеств, позволили решить до конца некоторые вопросы, относящиеся к изучению природы основных объектов математического анализа.

Ряд существенных результатов получен А.А. в области униформизации множеств. Он исследует проекции униформных СА′_n-1 множеств, названных им А′_n -множествами (1939 г.); дополнения к А′_n -множествам названы СА′_n -множествами; множества, одновременно являющиеся А′_n - и СА′_n -множествами названы В′_n -множествами. А.А. обращает внимание на то, что операция так называемого элементарного решета есть геометрическая форма A-операции. Исследуя свойства А′_n -, СА′_n -, В′_n -множеств при n≥ 2, А.А. доказал (1939 г.), что класс В′_n-множеств инвариантен относительно операций счетного объединения и счетного пересечения.

Для изучения проективных множеств используется аппарат общей теории операций над множествами. А.Н. Колмогоров (1928 г.) дал определение широкого класса операций над множествами, названных дельта s-операциями. В дальнейшем дельта s-операции изучали Л.В. Канторович и Е.М. Ливенсон (1932, 1933 гг.), Ю.С. Очан (1942, 1955 гг.), А.А. Ляпунов (цикл работ 1946-1973 гг.). Исследуя свойства дельта s-операций, А.А. установил общие теоремы о кратной отделимости для дельта  s-операций, из которых следуют все известные теоремы этого типа. Его "основная лемма" лежит в основе кратной отделимости.

В связи с трудностями, возникшими при изучении проективных множеств, встал вопрос о построении возможно более широких эффективных классов измеримых множеств. А.Н. Колмогоров рассмотрел своеобразный процесс усиления дельта s-операций, названный им R-операциями. Это привело к построению так называемых R-множеств. А.А. Ляпуновым было предпринято исследование транcфинитных классов R-множеств, получающихся R-операциями нормального ряда (1949 г.). Он существенно продвинул вперед теорию  R-множеств и вопрос о расширении теоретико-множественных операций, приводящих к измеримым множествам. Основные результаты его работы в этом направлении представлены в работе "Об операциях, приводящих к измеримым множествам" (1949 г.) и в монографии "R-множества" (1953 г.), представляющей собой систематическое изложение теории R-множеств.

Ряд работ А.А. Ляпунова относится к области метрической теории множеств и посвящен изучению вполне аддитивных вектор-функций множеств и законов распределения случайных величин. Теорема А.А. Ляпунова о множестве значений аддитивной вектор функции множеств, доказанная в 1940 г., получила широкий резонанс и развитие в работах многих исследователей. А.А. Ляпунов показал, что вполне аддитивная вектор-функция, лишенная скачков, определенная на системе подмножеств некоторого множества инвариантной относительно счетных сумм и пересечений и взятия дополнений и принимающая значения n-мерного эвклидова пространства, имеет выпуклое множество значений. В 1946 г. им было показано, что это свойство теряется, если вместо конечномерного пространства взять бесконечномерное, хотя бы даже компактное пространство.

А. А. возвращается к анализу вполне аддитивных вектор-функций в 60-е годы. Он публикует две статьи в "Проблемах кибернетики", подчеркивая этим важность разрабатываемого им подхода для решения задач, смежных для кибернетики и математической экономики, в частности, для принятия решений о справедливых дележах. Жизнь подтвердила правильность предвидения А.А. Ляпунова. "Теорема Ляпунова" находит многогранные возможности практического приложения, главным образом в области математической статистики и в математической экономике (см., например, обзор В.И. Аркина и В.Я. Левина. Успехи мат. наук. 1972. Т. 27, Вып. 3).