Алексей Андреевич был замечательным педагогом и пропагандистом научных знаний. Этому благоприятствовал редкий набор качеств: широкий кругозор, ораторский талант, эффектная внешность, а главное - какая-то трогательная привязанность к молодежи и детям, умение понятно и одновременно точно вести разговор с самыми различными по уровню и характеру образования людьми.

Педагогическая деятельность и педагогическое наследие А.А. характеризуются следующими тремя чертами. Во-первых, он интересовался преподаванием на всех ступенях образования, от высшей до начальной школы. Во-вторых, его интересы не ограничивались преподаванием математики, а охватывали весь цикл естественных наук, а также проблемы воспитания в целом. И, наконец, он в равной мере занимался и теорией, и практикой педагогического дела.  

В разное время А.А. был доцентом Педагогического института им. К. Либкнехта, преподавателем Артиллерийской академии им. Ф.Э. Дзержинского, профессором Московского университета, заведовал кафедрами математического анализа и кибернетики в Новосибирском университете. И всюду он принимал самое живое участие в решении важных задач вузовского преподавания, вытекающих из динамичного развития науки.

«…Совсем не секрет, что в программах высших школ много устаревшего, различные разделы программы имеют различную значимость. Поэтому идет непрерывная работа над переработкой учебных планов и программ, включая сюда и создание новых специальностей (можно выразить сожаление, что эта работа идет недостаточно интенсивно и недостаточно организованно). Однако в подавляющем большинстве случаев самим учащимся трудно разглядеть, что именно в программах устарело и чем и как это должно быть заменено. В то же время чрезвычайно редко бывает, что сколько-нибудь значительные куски программы могут быть просто выпущены. Обычно дело обстоит значительно сложнее. Модернизация программ органически связана с тем, что многие разделы осмысливаются по-новому, они излагаются с других, в большинстве случаев более современных глубоких и общих позиций. Что раньше было предметом простого заучивания, становится тогда легко выводимым логическим следствием из общих принципов. Однако если студенты будут сами перекраивать программы и учебные планы (например, сознательно изучая некоторые предметы на «троечку»— лишь бы отделаться), слишком велика вероятность того, что получится не модернизация курсов, а превращение учащихся в недоучек».

(Из статьи А.А. Ляпунова «Надо ли быть отличником?»)

Его заслугой является постановка новых вузовских курсов кибернетического цикла (программирование и теория вычислительных машин, математическая лингвистика, математическая биология, исследование операций). Большое внимание он уделял также содержанию и методике преподавания традиционных курсов.

Вместе с тем, его глубоко волновали школьные дела и участие в них он рассматривал как свое кровное дело.   

«В последние годы идут настойчивые поиски ответа на вопрос: как при обучении совместить научную полноту и доступность, как в короткий срок изложить — без верхоглядства и погони за сенсацией, внешней занимательностью — самую суть современных научных теорий? За последние годы немало сделано для того, чтобы преодолеть отставание средней школы от уровня передовой науки. Но все же разрыв остается. Безусловно, определенное отставание от уровня современной науки не только средней, но даже и высшей школы неизбежно — важно не допускать слишком большого разрыва. Как же решать эту чрезвычайно сложную задачу?»

(Из статьи А.А. Ляпунова «Как стать эрудитом?»)

Начиная с 1957 г., вместе с Я.С. Дубновым и А.И. Маркушевичем он выпускает серию сборников "Математическое просвещение", в которых большое внимание уделяется пропаганде новых идей в преподавании математики, публикуются статьи, посвященные основам школьного курса математики, опыту отечественной и зарубежной школы.