Алексей Андреевич Л я п у н о в родился в Москве 8 октября 1911 г. Его семья принадлежала к обширному роду Ляпуновых, давшему русской науке многих выдающихся ученых (А. М. Ляпунов - выдающийся математик; М. В. Ляпунов - русский астроном; Б. М. Ляпунов - известный славист; А. Н. Ляпунов - отец Алексея Андреевича, математик; и др.). К роду Ляпуновых принадлежал и известный русский композитор С. М. Ляпунов. Известны также родственные связи семьи Ляпуновых с семьями выдающихся русских и советских ученых - И. М. Сеченова, А. Н. Крылова, П. Л. Капицы и др.

Окончив школу, Алексей Андреевич учился на физико-математическом факультете Московского университета и в 1939 г. защитил кандидатскую диссертацию по математике, а уже после Великой Отечественной войны, в которой он принимал участие, служа в артиллерийских частях, и докторскую. К учителям А. А. Ляпунова, оказавшим большое влияние на его формирование как математика, относятся такие крупные ученые, как Лузин Николай Николаевич, П. С. Новиков, А. Н. Колмогоров и М. А. Лаврентьев.

В своей научной деятельности А. А. Ляпунов никогда не "замыкался" на одной математике - он был в полном смысле слова ученым-энциклопедистом, много и плодотворно работавшим в различных областях науки. Так, еще в студенческие годы под влиянием П. П. Лазарева у него возник интерес к биофизике и биологии, сохранившийся в течение всей жизни. По инициативе А. Н. Колмогорова и Н. И. Вавилова он занимался статистической обработкой результатов генетических экспериментов и участвовал в знаменитых семинарах генетиков Н. К. Кольцова и С. С. Четверикова. До конца дней сохранял он тесные научные и дружеские связи с рядом крупных биологов, многих из которых он впоследствии заинтересовал кибернетической проблематикой и привлек к работе в своем семинаре (Н. В. Тимофеев-Ресовский, Л. В. Крушинский и др.). Биологические работы А. А. Ляпунова сыграли существенную роль в построении фундамента теоретической и математической биологии, в создании и развитии биокибернетики.

Несколько менее известен тот факт, что Алексей Андреевич был также весьма крупным специалистом в области геофизики, к которой его привлек сохранившийся еще со студенческих лет интерес к астрономии и естествознанию в широком смысле этого слова. Им опубликован ряд работ по геофизике; он участвовал (в качестве руководителя) в одной из Среднеазиатских геофизических экспедиций, лично собрал богатую коллекцию минералов.

Несмотря на широкий спектр научных интересов, научная деятельность А. А. Ляпунова отличалась всегда высоким профессионализмом. Биологи его считали биологом, геофизики - геофизиком, философы - философом. Большая эрудиция и энциклопедичность, сочетающиеся с целостным, единым подходом к естествознанию, ко всему комплексу научных знаний, явились той почвой, на которой не могли не прорасти идеи кибернетики. В этом отношении налицо определенное сходство А. А. Ляпунова с Н. Винером, который тоже был глубоко и широко мыслившим ученым, работавшим в различных областях.

А. А. Ляпунова отличали прекрасные личные качества и замечательные педагогические способности. Алексей Андреевич был чутким и доброжелательным человеком; он никогда не замыкался в пределах того конкретного курса, который ему приходилось читать, а всегда с увлечением обращал внимание на связи излагаемого материала с общей системой научного знания, нацеливал внимание на еще не исследованные области. Его умение зажигать своими идеями молодежь, внимательность к людям и бескорыстие позволили ему собрать вокруг себя множество учеников, к числу которых относятся такие его бывшие слушатели и студенты, как Н. П. Бусленко, С. Я. Виленкин и А. И. Китов, как А. П. Ершов, Т. Д. Вентцель, Е. Г. Гольштейн, О. С. Кулагина, В. С. Штаркман, Э. З. Любимский и многие другие.